1.1 Απροσδιόριστες Μορφές Ορίων – Κανόνες De l’ Hospital

Φαντάσου δύο δρομείς, τον $f$ και τον $g$, που τρέχουν προς τη γραμμή τερματισμού (το σημείο $0$). Αν κοιτάξεις μόνο τη θέση τους τη στιγμή που φτάνουν, βλέπεις απλώς $\frac{0}{0}$ — αυτό δεν σου λέει απολύτως τίποτα για το ποιος κινείται πιο γρήγορα ή ποια είναι η μεταξύ τους αναλογία.

Ο κανόνας του De l’ Hospital λέει κάτι εξαιρετικά διαισθητικό: όταν δύο μεγέθη μηδενίζονται ταυτόχρονα (ή απειρίζονται ταυτόχρονα), η σχετική τους τάση δεν καθορίζεται από τις τιμές τους (που είναι και οι δύο μηδέν), αλλά από τους ρυθμούς μεταβολής τους — δηλαδή από τις παραγώγους τους $f'$ και $g'$. Αν ο αριθμητής πλησιάζει το μηδέν με διπλάσια ταχύτητα από τον παρονομαστή, το όριο του κλάσματος θα είναι απλώς ο λόγος αυτών των ταχυτήτων!

Πώς λειτουργεί: Εάν ένα όριο $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ καταλήγει σε μορφή $\frac{0}{0}$ ή $\frac{\infty}{\infty}$, ο κανόνας ορίζει ότι ισούται με $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, υπό την προϋπόθεση ότι το τελευταίο όριο υπάρχει.