1.6 Μονοτονία – Ακρότατα Συνάρτησης (Θεωρήματα)

Φαντάσου ότι οδηγείς ένα αυτοκίνητο σε έναν δρόμο με λόφους:

• Όσο πατάς το γκάζι και ανεβαίνεις την ανηφόρα, η κλίση του δρόμου είναι θετική: $f'(x) > 0 \implies$ η συνάρτηση ανεβαίνει (αύξουσα).
• Όταν κατηφορίζεις, η κλίση είναι αρνητική: $f'(x) < 0 \implies$ η συνάρτηση κατεβαίνει (φθίνουσα).
• Στην κορυφή ακριβώς του λόφου ή στον πυθμένα της κοιλάδας, για ένα κλάσμα του δευτερολέπτου, το αυτοκίνητο ισιώνει εντελώς οριζόντια: $f'(x) = 0$.

Αυτή είναι η καρδιά του Διαφορικού Λογισμού: το πρόσημο της πρώτης παραγώγου μας αποκαλύπτει τη μονοτονία, ενώ τα σημεία όπου η παράγωγος μηδενίζεται ή αλλάζει πρόσημο είναι τα υποψήφια σημεία όπου κρύβονται τα ακρότατα!