1.1 Μονοτονία και Ακρότατα Συνάρτησης (Ορισμοί)

Φαντάσου ότι περπατάς πάνω στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, κινούμενος πάντα από τα αριστερά προς τα δεξιά (καθώς δηλαδή το $x$ αυξάνεται):

• Αν συνεχώς ανηφορίζεις, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα — μεγαλύτερο $x$ σημαίνει μεγαλύτερο $y$.
• Αν συνεχώς κατηφορίζεις, είναι γνησίως φθίνουσα — μεγαλύτερο $x$ σημαίνει μικρότερο $y$.
• Αν περπατάς σε εντελώς επίπεδο έδαφος, η συνάρτηση είναι σταθερή.

Τι γίνεται όμως με τις κορυφές και τα φαράγγια;

• Τοπικό μέγιστο είναι η κορυφή ενός λόφου: είσαι ψηλότερα από όλους όσοι βρίσκονται στη γύρω γειτονιά σου.
• Ολικό μέγιστο είναι το Έβερεστ: το απόλυτα ψηλότερο σημείο σε ολόκληρο τον κόσμο (σε όλο το πεδίο ορισμού).

Ένα τοπικό μέγιστο δεν είναι απαραίτητα ολικό! Μπορεί να βρίσκεσαι στην κορυφή ενός μικρού λόφου ύψους $100\text{ m}$ (τοπικό μέγιστο), ενώ χιλιόμετρα μακριά υπάρχει ένα βουνό με υψόμετρο $2000\text{ m}$. Μάλιστα, η κορυφή αυτού του μικρού λόφου μπορεί να βρίσκεται χαμηλότερα ακόμα και από τον πάτο μιας ψηλής οροπεδιακής κοιλάδας (τοπικό ελάχιστο)!