1.2 Μονοτονία και Ακρότατα Συνάρτησης (Θεωρήματα)

Σκέψου την παράγωγο $f'(x)$ σαν το ταχύμετρο του υψομέτρου σου καθώς κινείσαι πάνω στην καμπύλη μιας συνάρτησης από αριστερά προς τα δεξιά:

• Όταν $f'(x) > 0$, το υψόμετρό σου αυξάνεται — ανεβαίνεις ανηφόρα (η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα).
• Όταν $f'(x) < 0$, το υψόμετρό σου μειώνεται — κατεβαίνεις κατηφόρα (η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα).
• Όταν $f'(x) = 0$, βρίσκεσαι για μια στιγμή σε εντελώς επίπεδο έδαφος (οριζόντια εφαπτομένη).

Είσαι όμως οπωσδήποτε σε κορυφή ή σε λακκούβα όταν $f'(x) = 0$; Όχι απαραίτητα!

• Αν πριν το σημείο ανέβαινες ($+$) και μετά κατεβαίνεις ($-$), πάτησες σε κορυφή (τοπικό μέγιστο).
• Αν πριν κατέβαινες ($-$) και μετά ανεβαίνεις ($+$), πάτησες σε πυθμένα (τοπικό ελάχιστο).
• Αν όμως ανέβαινες ($+$), ξαπόστασες για μια στιγμή σε ένα επίπεδο πλάτωμα ($f'=0$), και μετά συνέχισες να ανεβαίνεις ($+$), τότε δεν έφτασες σε ακρότατο — απλώς άλλαξε η κλίση σου (όπως συμβαίνει στην $y = x^3$ στο μηδέν)!