2.2.2 Νόμος των Συνημιτόνων

Όλοι γνωρίζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα: $a^2 = \beta^2 + \gamma^2$. Ισχύει όμως μόνο όταν η περιεχόμενη γωνία είναι ακριβώς $90^\circ$. Τι γίνεται αν η γωνία «κλείσει» και γίνει οξεία ($< 90^\circ$) ή αν «ανοίξει» και γίνει αμβλεία ($> 90^\circ$);

Ο Νόμος των Συνημιτόνων είναι το «Πυθαγόρειο Θεώρημα για όλα τα τρίγωνα του κόσμου». Προσθέτει έναν διορθωτικό όρο: το $-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu A$.

• Όταν η γωνία είναι οξεία, το συνημίτονο είναι θετικό, άρα αφαιρούμε ποσότητα και η απέναντι πλευρά μικραίνει ($a^2 < \beta^2 + \gamma^2$).
• Όταν η γωνία είναι ορθή ($90^\circ$), $\sigma\upsilon\nu 90^\circ = 0$, ο όρος εξαφανίζεται και μένει το κλασικό Πυθαγόρειο!
• Όταν η γωνία είναι αμβλεία, το συνημίτονο είναι αρνητικό, το μείον με το μείον γίνεται συν, και η απέναντι πλευρά μεγαλώνει ($a^2 > \beta^2 + \gamma^2$).