1.3 Ο Νόμος των Συνημιτόνων

Όλοι γνωρίζουν το Πυθαγόρειο θεώρημα: $a^2 = \beta^2 + \gamma^2$. Όμως αυτό ισχύει μόνο αν η περιεχόμενη γωνία είναι ακριβώς $90^\circ$.

Τι γίνεται αν η γωνία «ανοίξει» και γίνει αμβλεία ($> 90^\circ$); Η απέναντι πλευρά μεγαλώνει, άρα το τετράγωνό της γίνεται μεγαλύτερο από $\beta^2 + \gamma^2$. Αν η γωνία «κλείσει» και γίνει οξεία ($< 90^\circ$); Η απέναντι πλευρά μικραίνει, άρα το τετράγωνό της είναι μικρότερο από $\beta^2 + \gamma^2$.

Ο Νόμος των Συνημιτόνων είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα εξοπλισμένο με έναν «διορθωτικό όρο»: το $-2\beta\gamma\cos A$. Αυτός ο όρος ρυθμίζει ακριβώς τη μεταβολή του μήκους ανάλογα με το άνοιγμα της γωνίας. Αν η γωνία γίνει $90^\circ$, επειδή $\cos 90^\circ = 0$, ο διορθωτικός όρος εξαφανίζεται και μένει το κλασικό Πυθαγόρειο!