0.1 Πρωτοβάθμιες Εξισώσεις, Ανισώσεις, Ευθεία & Γραμμικά Συστήματα

Κάθε πρωτοβάθμια εξίσωση, όσο περίπλοκη κι αν φαίνεται αρχικά, ανάγεται μετά τις πράξεις στη μορφή $ax = \beta$. Και σε αυτή τη μορφή το ερώτημα δεν είναι «πόσο κάνει το $x$» αλλά τι είναι το $a$ — γιατί αν $a \ne 0$ υπάρχει μοναδική λύση, αν $a = 0$ με $\beta \ne 0$ η εξίσωση είναι αδύνατη, και αν $a = \beta = 0$ επαληθεύεται από κάθε πραγματικό αριθμό. Η διερεύνηση δεν είναι διαδικαστική λεπτομέρεια· είναι η ουσία του θέματος.

Στις ανισώσεις προστίθεται μία ακόμη απαίτηση. Ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση με αρνητικό αριθμό αντιστρέφει τη φορά, και ο λόγος φαίνεται αμέσως στον άξονα: ισχύει $2 < 5$, αλλά τα $-2$ και $-5$ εμφανίζονται με την αντίστροφη σειρά, οπότε $-2 > -5$.

Στο επίπεδο, κάθε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους παριστάνει μία ευθεία, και η κλίση της μετρά τον ρυθμό μεταβολής του $y$ ως προς το $x$. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος $2\times2$ είναι τότε καθαρά γεωμετρικό ερώτημα: πού τέμνονται οι δύο ευθείες — σε ένα σημείο, σε κανένα, ή σε άπειρα.