1.2 Θεώρημα Rolle

Φαντάσου ότι κάνεις μια πεζοπορία σε ένα βουνό. Ξεκινάς στις 08:00 το πρωί από ένα καταφύγιο σε υψόμετρο $500$ μέτρων και καταλήγεις στις 16:00 σε ένα άλλο σημείο που βρίσκεται ακριβώς στο ίδιο υψόμετρο, στα $500$ μέτρα. Το μονοπάτι σου ήταν ομαλό, χωρίς γκρεμούς όπου έπεσες απότομα (συνέχεια) και χωρίς σημεία όπου τηλεμεταφέρθηκες ή έκανες απότομες γωνιώδεις αναρριχήσεις (παραγωγισιμότητα).

Είναι απόλυτα βέβαιο ότι σε κάποια στιγμή της διαδρομής —τουλάχιστον μία φορά, ίσως στην κορυφή του λόφου ή στον πυθμένα μιας κοιλάδας— περπατούσες σε εντελώς οριζόντιο έδαφος ($f'(\xi) = 0$).

Αυτό ακριβώς εκφράζει το Θεώρημα Rolle: αν μια λεία καμπύλη ξεκινά και τελειώνει στο ίδιο ύψος, υπάρχει τουλάχιστον ένα ενδιάμεσο σημείο όπου η εφαπτομένη της είναι απολύτως οριζόντια.